Tài liệu lắp kèm:
Nội dung text: bài bác tập giải hệ phương trình Lớp 9 (Có đáp án)
Bài tập cùng đáp án bài bác tập 1: Giải những hệ phương trình sau: 1 x 3y 10 19 3x 2y 8 37 2x y 4 x 5y 16 2x 3y 12 2x 0y 6 0 2 2x y 7 đôi mươi 2x y 5 38 x 2y 2 x 4y 10 x 7y 9 2x 4y 1 3 3x 5y 18 21 5x 3y 7 39 3x 2y 2 0 x 2y 5 3x y 8 9x 6y 4 0 4 4x 3y 6 22 2x y 3 40 2x y 2 2x 5y 16 3x 4y 10 4x 2y 4 0 5 2x y x 3y 3 23 x y 2 41 x 2y 4 ) 3x 3y 9 x 3y 6 2x 9y 18 6 2x 4y 3 24 x 2y 5 42 2x y 3 x 2y 1 3x 4y 5 x y 3 7 x y 2(x 1) 25 3x 2y 12 43 x y 0 7x 3y x y 5 4x y 5 2x y 5 8 2x 5y (x y) 26 2x y 10 44 2x y 0 6x 3y y 10 5x 2y 6 x 4y 0 9 3x y 2 27 5x 2y 10 45 x y 3 9x 3y 6 5x 2y 6 x 2y 3 10 2x 5y 7 28 3x 2y 8 46 x y 2 2x 3y 1 4x 3y 12 3x 2y 9 11 x 3y 10 29 2x y 3x 20 47 3x y 2 2x y 1 4x y x 2y 12 6x 2y 3 12 2x 3y 2 30 5x y 1 48 2x 3y 6 3x 2y 3 10x 2y 0 4x 6y 12 13 2x y 3 31 3x 2y x 49 3x 2y 6 3x y 7 5(x y) 3x y 5 2x 3y 4 14 2x y 7 32 2x 5y 1 50 x 2y 2 x 2y 5 4x 10y 2 2x y 1 15 x 2y 5 33 2x y 5 51 2x y 5 3x 2y 1 x y 1 3x y 15 16 3x 2y 12 34 x 2y 4(x 1) 52 3x 2y 8 4x 3y 1 5x 3y (x y) 8 5x 2y 12 17 5x 3y 22 35 x y 1 53 2x 3y 5 3x 2y 22 3x 2y 8 2x 3y 1 18 3x y 0 36 0x y 3 54 2x 3y 5 x 2y 5 x 2y 4 4x 6y 10 bài bác tập 2: Giải các hệ phương trình sau: 11 1 1 5 1 1 9 1 2 1 3 2 x y x y x y x y 2 2 4 2 3 3 1 5 1 1 x y x y x y x y 2 2 2 3 6 2 6 10 x 3 1 1,1 5 x 1 y x y x y x y x y 2 5 4 9 2x 1 1 0,1 3 x 1 y x y x y x y x y 3 1 1 7 2x y 11 3 2 2 3 2 x 2 y 1 x 1 y 1 x y 2x y 2 3 x 3y 4 10 1 1 2 x 2 y 1 x 1 y 1 x y 2x y 4 2 2 8 1 1 3 12 x x 2 1 x 2 y 1 x y 4 y y 12 2 3 1 1 2 x x 1 2 x 2 y 1 6x 5y 15 x 12 y mx y 1 bài 3: mang đến hệ phơng trình: x my 2 a) Giải hệ phơng trình lúc m = 2 b) Giải với biện luận hệ phơng trình theo tham số m c) tìm kiếm m nhằm hệ phơng trình có nghiệm (x; y) toại nguyện x - y = 1 d) search hệ thức liên hệ giữa x cùng y không phụ thuộc vào m.Bạn đang xem: Bài tập về hệ phương trình lớp 9
Giải: mx y 1 2x y 1 a) cụ m = 2 vào hệ phơng trình x my 2 ta có hệ phơng trình biến đổi x 2y 2 y 1 2x y 1 2x x 2. 1 2x 2 x 2 4x 2 y 1 2x y 1 2.0 y 1 3x 0 x 0 x 0 Vậy với m = 2 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm độc nhất vô nhị ( x ; y) = ( 0 ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m y 1 mx mx y 1 y 1 mx y 1 mx 2 x m. 1 mx 2 2 1 m x 2 m (*) Ta gồm x my 2 x m m x 2 2 m 2m mét vuông y 1 m. 2 y 1 y 1 mx 1 m 1 m2 2 m 2 m 2 m x 2 x 2 x 2 1 m 1 m 1 m 21 mét vuông 2m mét vuông 1 2m y y 1 m2 1 m2 2 m 2 m x x 2 1 m2 1 m (m 1 ) 2 m 1 2m 2 ; 2 Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm tốt nhất (x; y ) = 1 m 1 m với m 1 - Xét m = 1 => Phơng trình (*) 0x = 1, phơng trình này vô nghiệm bắt buộc hệ đã mang lại vô nghiệm - Xét m = - 1 => Phơng trình (*) 0x = 3, phơng trình này vô nghiệm phải hệ đã cho vô nghiệm c) Để hệ phơng trình gồm nghiệm (x; y) hợp ý x - y = 1 2 m 1 2m 1 2 1 mét vuông 1 m2 2 m 1 2m 1 m mét vuông m 0 m. M 1 0 m 0 m 0 m 1 0 m 1 m = 0 (nhận), m = - 1 (loại) Vậy cùng với m = 0 thì hpt trên gồm nghiệm chấp thuận điều kiện: x - y = 1 d) tra cứu hệ thức liên hệ giữa x và y không dựa vào vào m. Mx y 1 1 Xét hệ phơng trình x my 2 2 1 y m tự phơng trình 1 mx 1 y x 1 y 1 y m x .y 2 thay x vào phơng trình 2 ta gồm phơng trình x y y2 x 2 2 2 2 2 x x y y 2x x y y 2x 0 2 2 Vậy x y y 2x 0 là đẳng thức tương tác giữa x cùng y không dựa vào vào m. M 1 x y m x m 1 y 2 bài xích 4: mang lại hệ phơng trình: bao gồm nghiệm tuyệt nhất (x ; y) a) Giải hệ phơng trình khi m = 3 b) tìm hệ thức contact giữa x và y không phụ thuộc vào vào m. C) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng thích hợp hệ tất cả nghiệm tốt nhất tìm cực hiếm của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1 2x 3y d) Tìm những giá trị của m nhằm biểu thức x y nhận quý hiếm nguyên. Giải: m 1 x y m x m 1 y 2 a) nắm m = 3 vào hệ phơng trình ta gồm hệ phơng trình biến hóa 3 1 x y 3 2x y 3 4x 2y 6 x 3 1 y 2 x 2y 2 x 2y 2 34 4 4 4 x x x x 3 3 3 3 3x 4 4 4 2 1 2y 2 2y 2 2y y x 2y 2 3 3 3 3 4 1 ; Vậy với m = 3 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = 3 3 b) search hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào vào m. M 1 x y m 1 x m 1 y 2 Xét hệ phơng trình 2 2 x y m tự phơng trình 2 x my y 2 my 2 x y y 2 x y 2 x y 2 x y m 1 x y vắt y vào phơng trình 1 ta bao gồm phơng trình: y y 2 x y y 2 x y .x y y y 2 x 2 x y 2x x2 y2 2 x y .x y y y y y 2 2 2 2 2x x y 2 x y x y 3x y 2 0 2 2 Vậy x y 3x y 2 0 là đẳng thức tương tác giữa x với y không phụ thuộc vào m. M 1 x y m x m 1 y 2 c) Giải hệ phơng trình theo tham số m ta gồm hpt 2 2 m 1 x y m m 1 x m 1 y m. M 1 m 1 x x m. M 1 2 x m 1 y 2 x m 1 y 2 x m 1 y 2 2 2 m 2m 1 1 x m m 2 m. M 2 x m 1 m 2 (*) x m 1 y 2 x m 1 y 2 m 1 m 1 x x m m m 1 m 1 m 1 y 2 m 1 y 2 m m m 1 m 1 m 1 x x x m m m 2m m 1 m 1 1 m 1 y m 1 y y ` m m m m 1 1 ; Vậy hệ phơng trình có một nghiệm tốt nhất (x; y ) = m m (m 0,m 2 ) - cùng với m = 0 thì phơng trình (*) biến hóa 0x = -2 , phơng trình này vô nghiệm buộc phải hệ đã đến vô nghiệm - với m = 2 thì phơng trình (*) đổi thay 0x = 0 , phơng trình này vô số nghiệm nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng thể của hệ là 4()x R;y 2 x +) Để hệ phơng trình bao gồm nghiệm nhất (x; y) vừa ý 2x2 - 7y = 1 2 m 1 1 2m2 4m 2 7 2 7. 1 1 m m mét vuông m 2m2 4m 2 7m mét vuông m2 3m 2 0 m 2 . M 1 0 m 2 0 m 2 (loại) m 1 0 m 1 m = 1 Vậy cùng với m = 1 thì hệ phơng trình trên tất cả nghiệm nhất trí điều kiện: 2x2 - 7y = 1 m 1 1 2x 3y x y d) ráng m ; m vào biểu thức A = x y ta đợc biểu thức m 1 1 2m 2 3 2. 3. M m m m 1 1 m 1 1 2m 1 m 2 2m 1 2 m 2 5 : A = m m = m = m m = m 2 = m 2 2 m 2 5 5 2 = m 2 m 2 = m 2 2x 3y Để biểu thức A = x y nhận quý giá nguyên 5 5 2 m 2 nhận quý giá nguyên m 2 nhận giá trị nguyên 5M m 2 (m+2) là ớc của 5. Nhưng Ư(5) = 1; 5 m 2 1 m 1 2 m 1 m 2 1 m 1 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 7 Kết hợp với điều kiện m 0 ; m 2 Vậy với những giá trị m 7; 3; 1;3 thì quý giá của biểu 2x 3y thức x y nhận giá trị nguyên. Mx y 2 bài bác 5 mang lại hệ pt: 2x y 1 . Giải và biện luận hệ theo m. Bài bác làm: 2x y 1 (2 m)x 3 (1) mx y 2 2x y 1 (2) + Xét phơng trình (1) (2 + m)x = 3 -Nếu 2 + m = 0 m = - 2 thì phơng trình (1) bao gồm dạng 0x = 3 (3) vì chưng phơng trình (3) vô nghiệm hệ vô nghiệm. -Nếu 2 + m 0 m - 2. 3 Thì phơng trình (1) tất cả nghiệm độc nhất vô nhị x = 2 m 53 6 4 m + rứa x = 2 m vào phơng trình (2) ta có:y = 2x – 1 = 2 m - 1 = 2 m 3 x 2 m 4 m y Vậy cùng với m - 2 thì hệ có nghiệm tốt nhất 2 m . Cầm lại: +) cùng với m = - 2 thì hệ phơng trình vô nghiệm 3 x 2 m 4 m y +) cùng với m - 2 thì hệ gồm nghiệm nhất 2 m . X 7 y bài xích 6 Tìm cực hiếm của m và p. để hệ phơng trình mx 2y p. A) bao gồm một nghiệm tuyệt nhất b) tất cả vô số nghiệm c) Vô nghiệm Giải: ráng x = 7 – y vào phơng trình sản phẩm công nghệ hai, ta có: m(7 - y) = 2y + p (m + 2)y = 7m - p (1) a) nếu m + 2 0 m 2 => Phơng trình (1) gồm nghiệm duy nhất cần hệ đang cho gồm nghiệm duy nhất. 7m p 7m p. 14 p Từ (1) => y = m 2 , chũm vào x = 7 – y => x = 7 - m 2 = m 2 14 p 7m phường Vậy khi m 2 thì hệ phơng trình tất cả nghiệm duy nhất (m 2 ;m 2 ) b) giả dụ m = - 2 => Phơng trình (1) biến chuyển 0.y = - 14 – phường Hệ vô vàn nghiệm khi: -14 – p = 0 p. = - 14 Vậy lúc m = - 2 và phường = - 14 thì hệ rất nhiều nghiệm c) giả dụ m = - 2 và phường 14 thì phơng trình(1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm *) cách khác: mx 2y p. Hệ phơng trình đã mang đến x y 7 m 2 m 2 a) Hệ tất cả nghiệm tốt nhất 1 1 p. M 2 b) Hệ vô vàn nghiệm 1 1 7 => m = - 2, p. = - 14 p. M 2 c) Hệ vô nghiệm 1 1 7 => m = - 2, phường 14 6Bài 7 : Phơng pháp: ax by c (1) cho hệ phơng trình : a x b y c (2) x x0 y y Tìm cực hiếm tham số để hệ phơng trình tất cả nghiệm 0 giải pháp 1: nạm x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) cùng giải. Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) cùng giải. Cách 2: vắt x = x0; y = y0 vào cả nhị phơng trình với giải hệ phơng trình cất ẩn là thông số Bài8 : cho hệ phơng trình 3x 2y 7 (1) 2 (5n 1)x (n 2)y n 4n 3 (2) tìm kiếm n nhằm hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Giải: nắm (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có: 3 – 2.(- 2) = 7 3 + 4 = 7 (luôn đúng với mọi n) Vậy (2; 1) là nghiệm của (1). Chũm (x; y) = (1; -2) vào (2) ta có: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 – 4n – 3 n 0 7n – 3 = n2 – 4n – 3 n(n –11) = 0 n 11 Vậy cùng với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đang cho tất cả nghiệm (x; y) = (1; - 2) 1 5m(m 1)x my (1 2m)2 (1) 3 2 bài 9 mang đến hệ phơng trình 4mx 2y m 3m 6 (2) kiếm tìm m nhằm hệ có 1 nghiệm nhất (x = 1; y = 3). Giải: chũm x = 1; y = 3 vào (1) ta có: m 1 5m2 – 5m + m = 1 – 4m + 4m2 mét vuông = 1 m 1 (I) vắt x = 1; y = 3 vào (2) ta có: m 0 4m + 6 = m2 + 3m + 6 m(m – 1) = 0 m 1 (II) từ bỏ (I) cùng (II) cùng với m = 1 thì hệ pt tất cả nghiệm (x = 1 ; y = 3) 2mx (n 2)y 9 bài xích 10 mang lại hệ phơng trình : (m 3)x 2ny 5 tìm m; n nhằm hệ gồm nghiệm (x = 3; y = - 1) Giải: gắng x = 3; y = - 1 vào hệ pt ta có: (m 3).3 2n.( 1) 5 3m 2n 4 m 2 6m (n 2).( 1) 9 12m 2n 14 n 5 Vậy với m = 2 với n = 5 thì hệ tất cả nghiệm (x = 3; y = - 1). 73x 2y 8 (1) bài xích 11 đến hệ phơng trình 3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2) (I) tìm kiếm m để hệ có nghiệm tuyệt nhất (x; y) thoả nguyện : 4x – 2y = - 6 (3) Giải: Điều kiện để hệ tất cả nghiệm duy nhất: 5 3(m + 5) + 6m 0 m 3 vì chưng (x; y) là nghiệm của hệ phơng trình (I) cùng thoả mãn (3) (x; y) là nghiệm của (1), (2), (3) 3x 2y 8 x 2 kết hợp (1) với (3) ta có: 4x 2y 6 y 1 gắng x = - 2, y = -1 vào phơng trình (2) ta đợc: 6m – (m +5) = mét vuông - 1 m2 – 5m + 4 = 0 m 1 5 m 4 (thỏa mãn m 3 ) Vậy m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) bao gồm nghiệm tán đồng 4x – 2y = - 6 mx y 5 (1) bài bác 12 mang lại hệ phơng trình 2mx 3y 6 (2) (I) kiếm tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (3) Giải: Điều kiện để hệ gồm nghiệm duy nhất: m.3 2.m m 0. Tự (1) y = 5 – mx. Chũm vào (2) ta có: 9 2mx + 3(5 - mx) = 6 x = m (m 0) 9 9m cố x = m vào y = 5 – mx ta có: y = 5 - m = - 4 9 Vậy với m 0 hệ (I) có nghiệm x = m ; y = - 4 9 nạm x = m ; y = - 4 vào phơng trình (3) ta đợc: 9 (2m – 1).m + (m + 1)(- 4) = m 9 18 - m - 4m – 4 = m 5m2 – 14m + 9 = 0 m 1 9 m (m – 1).(5m – 9) = 0 5 (thoả mãn m 0) 89 Vậy với m = 1 hoặc m = 5 thì hệ (I) có nghiệm tốt nhất thoả mãn (2m – 1)x + (m + 1)y = m (m 2)x 2y 5 bài xích 13 cho hệ pt: mx y 1 search mZ nhằm hệ tất cả nghiệm tốt nhất là những số nguyên Giải: từ bỏ (2) ta có: y = mx – 1. Thế vào (1) ta đợc: (m + 2)x + 2(mx - 1) = 5 3mx + 2x = 7 2 7 x.(3m + 2) = 7 (m 3 ) x = 3m 2 . 7 4m 2 cố vào y = mx – 1 y = 3m 2 .m – 1 y = 3m 2 7 7; 7;1; 1 Để x Z 3m 2 Z 3m + 2 Ư(7) = +) 3m + 2 = - 7 m = - 3 5 +) 3m + 2 = 7 m = 3 Z (loại) 1 +) 3m + 2 = 1 m = 3 Z (loại) +) 3m + 2 = -1 m = - 1 4m 2 cố gắng m = - 3 vào y = 3m 2 y = 2 (t/m) 4m 2 ráng m = - 1 vào y = 3m 2 y = 6 (t/m) Kết luận: m Z để hệ bao gồm nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1 (m 3)x y 2 bài bác 14 mang lại hệ phơng trình : mx 2y 8 tìm m nhằm hệ tất cả nghiệm nguyên. Giải: từ (1) ta có y = 2 – (m – 3).x y = 2 – mx + 3x nạm vào (2) ta có: mx + 2.(2 – mx + 3x) = 8 - mx + 6x = 4 x.(6- m) = 4 (m 6) 4 24 6m x = 6 m . Thay vào y = 2 – (m – 3).x ta có: y = 6 m 4 1; 1;2; 2;4; 4 Để x Z 6 m Z 6 - m Ư(4) = +) 6 – m = 1 m = 5 +) 6 – m = -1 m = 7 +) 6 – m = 2 m = 4 +) 6 – m = - 2 m = 8 +) 6 – m = 4 m = 2 9+) 6 – m = - 4 m = 10 24 6m ráng m = 5 vào y = 6 m y = - 6 (t/m) 24 6m nắm m = 7 vào y = 6 m y = 18 (t/m) 24 6m nuốm m = 4 vào y = 6 m y = 0 (t/m) 24 6m nuốm m = 8 vào y = 6 m y = 17 (t/m) 24 6m ráng m = 2 vào y = 6 m y = 3 (t/m) 24 6m nuốm m = 10 vào y = 6 m y = 9 (t/m) Kết luận: Để hệ tất cả nghiệm nguyên thì m 5;7;4;8;2;10 mx y m2 (1) 2 bài bác 15 đến hệ phơng trình : 2x my m 2m 2 (2) a) minh chứng rằng hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhất với đa số m b) tìm kiếm m nhằm biểu thức: x2 + 3y + 4 thừa nhận GTNN. Tìm giá trị đó. Giải: a) Xét nhì trờng thích hợp Trờng đúng theo 1: m = 0 => Hệ phơng trình tất cả nghiệm độc nhất vô nhị là (x ; y) = (1 ; 0) Trờng hòa hợp 2: m 0, hệ phơng trình bao gồm nghiệm duy nhất a b a " b" giỏi ab" a " b m.m ( 1).2 m2 + 2 0 Do mét vuông 0 với mọi m mét vuông + 2 > 0 với đa số m. Hay m2 + 2 0 với mọi m Vậy hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Rút y từ bỏ (1) ta có: y = mx – m2 (3) cố gắng vào (2) ta đợc 2x + m(mx – m2) = m2 + 2m +2 2x + m2x – m3 = mét vuông + 2m +2 2x + m2x = m3 + mét vuông + 2m +2 x(2 + m2)=(m3 + 2m) + (m2 + 2) x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) do m2 + 2 0 x = m + 1 nuốm vào (3) y = m.(m + 1) – m2 = m vắt x = m + 1; y = m vào x2 + 3y + 4 ta đợc: x2 + 3y + 4 = (m + 1)2 + 3m + 4 = m2 + 5m + 5 5 25 5 m ) = (m2 + 2. 2 4 4 5 5 5 5 (m )2 (m )2 0 = 2 4 4 vị 2 5 5 Vậy Min(x2 + 3y + 4) = 4 lúc m = 2 103mx y 6m2 m 2 (1) 2 bài xích 16 mang lại hệ phơng trình : 5x my m 12m (2) search m nhằm biểu thức: A = 2y2 – x2 nhấn GTLN. Tìm cực hiếm đó Giải: tự (1) ta có: y = 3mx - 6m2 + m + 2. Cầm cố vào (2) ta có: 5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = mét vuông +12m x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m (5 + 3m2 0 với đa số m) 6m3 10m x 2m 3m2 5 cầm x = 2m vào y = 3mx - 6m2 + m + 2 ta đợc y = m + 2 núm x = 2m ; y = m + 2 vào A ta đợc: A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4) A = - 2(m2 – 4m + 4 – 8) = - 2(m2 – 4m + 4) +16 2 2 = 2(m 2) 16 16 do 2(m 2) 0 m Vậy MaxA = 16 khi m = 2 bài xích 17 Biết cặp số (x ; y) là nghiệm của hệ phơng trình x y m 2 2 2 x y m 6 Hãy tìm cực hiếm của tham số m nhằm biểu thức phường = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ dại nhất. X y m 2 Hớng dẫn: biến đổi hệ phơng trình trên trở thành: xy m 3 Hệ phơng trình bao gồm nghiệm 2 2 2 m 4(m 3) 3m 12 2 m 2 2 lúc đó p. = (m 1) 4 4 Vậy MinP = - 4 m = - 1 (thỏa mãn 2 m 2 ) bài 18 đưa sử (x ; y) là nghiệm của hệ phơng trình x y 2a 1 2 2 2 x y a 2a 3 khẳng định giá trị của thông số a để hệ vừa lòng tích xy đạt giá bán trị nhỏ dại nhất; lớn số 1 ? Hớng dẫn: thay đổi hệ phơng trình trên trở thành: x y 2a 1 3a2 6a 4 xy 2 Hệ phơng trình có nghiệm 2 2 2 2 2 2a 1 4. 3a 6a 4 2a 8a 7 0 2 a 2 2 2 2 3 (a 1)2 1 Ta có xy = 2 2 112 2 2 2 2 3 a 2 a 1 1 a 1 1 2 2 2 2 2 với 3 2 3 3 2 1 11 => xy 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 3 a 2 a 1 1 a 1 1 2 2 2 2 2 cùng với 3 2 3 3 2 1 11 => xy 2 2 2 4 2 3 2 3 2 11 xy 11 vì vậy 4 2 4 2 3 2 2 11 2 Vậy Min(xy) = 4 2 a = 2 3 2 2 11 2 cùng Max(xy) = 4 2 a = 2 bài xích 19 Tìm cực hiếm của thông số m nhằm hệ phơng trình (m 1)x y m 1 x (m 1)y 2 tất cả nghiệm duy nhất thỏa mãn nhu cầu điều kiện x + y đạt giá chỉ trị nhỏ nhất Hớng dẫn: kiếm tìm đợc cùng với m 0 thì hệ gồm nghiệm duy nhất là m2 1 m 1 x ;y mét vuông m2 2 2 2 m 1 m 1 ( 1 ) 7 7 2 2 Ta có x + y = m m m 2 2 8 8 2 7 1 0 8 m Min (x + y) = 2 2 m = - 4 (thỏa mãn m 0 ) cách khác: 2 x y m m 2 S (1 S)m2 m 2 0 (*) m2 Ta bắt buộc tìm S nhằm phơng trình (*) gồm nghiệm m - Xét nhị trờng hợp *) Trờng thích hợp 1: S = 1 => m = - 2 (thỏa mãn m 0 ) *) Trờng đúng theo 2: S 1 , để phơng trình gồm nghiệm thì 0 S 7 8 1 1 4 7 b 2(1 S) 2(1 7 ) Vậy Min S = 8 lúc ấy m = 2a = 8 127 Min (x + y) = 8 m = - 4 mx y 1 Bài đôi mươi Cho hệ phơng trình: x my 2 a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 b) Giải hệ phơng trình theo thông số m c) kiếm tìm m để hệ phơng trình bao gồm nghiệm (x; y) mãn nguyện x - y = 1 d) tra cứu hệ thức liên hệ giữa x cùng y không dựa vào vào m. Giải: mx y 1 a) ráng m = 2 vào hệ phơng trình x my 2 ta tất cả hệ phơng trình vươn lên là 2x y 1 y 1 2x y 1 2x x 2. 1 2x 2 x 2y 2 x 2 4x 2 y 1 2x y 1 2.0 y 1 3x 0 x 0 x 0 Vậy với m = 2 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất là ( x ; y) = ( 0 ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m mx y 1 y 1 mx x m. 1 mx 2 Ta tất cả hệ phơng trình x my 2 y 1 mx y 1 mx 2 1 mét vuông x 2 m (*) x m m x 2 - Trờng hợp 1: mét vuông = 1 m = 1 x y 1 +) giả dụ m = 1, nắm vào hệ phơng trình ta có: x y 2 hệ phơng trình này vô nghiệm do 1 1 1 1 1 2 x y 1 +) trường hợp m = -1, vậy vào hệ phơng trình ta có: x y 2 x y 1 1 1 1 x y 2 hệ này cũng vô nghiệm vày 1 1 2 - Trờng phù hợp 2: m2 1 m 1 2 m y 1 m. 2 y 1 mx 1 m y 1 mx 2 m 2 m 2 x 1 m x 2 m (*) 2 x 2 Hệ phơng trình 1 m 1 m 2m m2 1 m2 2m mét vuông 1 2m y 1 y y 1 mét vuông 1 mét vuông 1 m2 2 m 2 m 2 m x x x 2 1 m2 1 mét vuông 1 m 13Vậy cùng với m 1 thì hệ phơng trình có một nghiệm tốt nhất 2 m 1 2m 2 ; 2 (x; y ) = 1 m 1 m tóm lại: nếu như m = 1 thì hệ phơng trình vô nghiệm nếu m 1 thì hệ phơng trình tất cả một nghiệm duy nhất 2 m 1 2m 2 ; 2 (x; y ) = 1 m 1 m c) Để hệ phơng trình bao gồm nghiệm (x; y) chấp thuận x - y = 1 2 m 1 2m 1 2 1 m2 1 m2 2 m 1 2m 1 m m2 m 0 m. M 1 0 m 0 m 0 m 1 0 m 1 với m = - 1 (loại) cùng m = 0 (nhận) Vậy cùng với m = 0 thì hệ phơng trình trên có nghiệm nhất trí điều kiện: x - y = 1 d) search hệ thức liên hệ giữa x cùng y không phụ thuộc vào vào m. Mx y 1 1 Xét hệ phơng trình x my 2 2 1 y m từ bỏ phơng trình 1 mx 1 y x 1 y m nắm x vào phơng trình 2 ta tất cả phơng trình 1 y y y2 x .y 2 x 2 2 2 x x x y y 2x 2 2 x y y 2x 0 , đấy là đẳng thức contact giữa x cùng y không nhờ vào vào m. M 1 x y m x m 1 y 2 bài bác 21 đến hệ phơng trình: tất cả nghiệm độc nhất vô nhị (x ; y) a) Giải hệ phơng trình lúc m = 3 b) kiếm tìm hệ thức tương tác giữa x và y không phụ thuộc vào m. C) Giải và biện luận hệ theo m, vào trờng hợp hệ gồm nghiệm độc nhất tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1 2x 3y d) Tìm các giá trị của m để biểu thức x y nhận cực hiếm nguyên. (Đề thi tuyển chọn sinh trung học phổ thông – Năm học tập : 2004 – 2005) Giải: m 1 x y m x m 1 y 2 a) nuốm m = 3 vào hệ phơng trình ta gồm hệ phơng trình biến hóa 3 1 x y 3 2x y 3 4x 2y 6 3x 4 x 3 1 y 2 x 2y 2 x 2y 2 x 2y 2 144 4 4 4 x x x x 3 3 3 3 4 4 2 1 2y 2 2y 2 2y y 3 3 3 3 Vậy với m = 3 thì hệ phơng trình tất cả một nghiệm nhất 4 1 ; ( x ; y) = 3 3 b) tìm kiếm hệ thức tương tác giữa x cùng y không nhờ vào vào m. M 1 x y m 1 x m 1 y 2 Xét hệ phơng trình 2 từ bỏ phơng trình 2 x my y 2 my 2 x y 2 x y m y . 2 x y m cố kỉnh y vào phơng trình 1 ta tất cả phơng trình: 2 x y 2 x y 2 x y y 2 x y 1 x y .x y y y y y 2 x 2 x y 2x x2 y2 2 x y .x y y y y y 2 2 2 2 2x x y 2 x y x y 3x y 2 0 2 2 Vậy x y 3x y 2 0 là đẳng thức tương tác giữa x và y không phụ thuộc vào vào m. M 1 x y m x m 1 y 2 c) Giải hệ phơng trình theo thông số m, ta tất cả hpt 2 2 m 1 x y m m 1 x m 1 y m. M 1 m 1 x x m. M 1 2 x m 1 y 2 x m 1 y 2 x m 1 y 2 2 2 m 2m 1 1 x m m 2 m. M 2 x m 1 m 2 (*) x m 1 y 2 x m 1 y 2 - Xét nhị trờng hợp: *) Trờng đúng theo 1: m 0 và m 2 , hệ phơng trình trên m 1 m 1 x x m m m 1 m 1 m 1 y 2 m 1 y 2 m m m 1 m 1 m 1 x x x m m m 2m m 1 m 1 1 m 1 y m 1 y y ` m m m 15m 1 1 ; Vậy hệ phơng trình có một nghiệm nhất (x; y ) = m m (m 0,m 2 ) *) Trờng phù hợp 2: m = 0 hoặc m = 2 - với m = 0 thì phơng trình (*) biến đổi 0x = -2 , phơng trình này vô nghiệm đề xuất hệ đã mang đến vô nghiệm - cùng với m = 2 thì phơng trình (*) biến 0x = 0 , phơng trình này vô số nghiệm bắt buộc hệ đã mang đến vô số nghiệm, nghiệm bao quát của hệ là: (x R;y 2 x) +) Để hệ phơng trình tất cả nghiệm độc nhất vô nhị (x; y) hợp ý 2x2 - 7y = 1 2 m 1 1 2m2 4m 2 7 2 7. 1 1 m m mét vuông m 2m2 4m 2 7m mét vuông m2 3m 2 0 m 2 . M 1 0 m 2 0 m 2 (loại) m 1 0 m 1 m = 1 Vậy cùng với m = 1 thì hệ phơng trình trên gồm nghiệm tán thành điều kiện: 2x2 - 7y = 1 m 1 1 2x 3y x y d) cố kỉnh m ; m vào biểu thức A = x y ta đợc biểu thức m 1 1 2m 2 3 2. 3. M m m m 1 1 m 1 1 2m 1 m 2 2m 1 2 m 2 5 : A = m m = m = m m = m 2 = m 2 2 m 2 5 5 2 = m 2 m 2 = m 2 2x 3y 5 5 2 Để biểu thức A = x y nhận quý giá nguyên m 2 nhận giá trị nguyên m 2 nhận giá trị nguyên 5M m 2 (m+2) là ớc của 5. Cơ mà Ư(5) = 1; 5 m 2 1 m 1 2 m 1 m 2 1 m 1 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 7 Kết phù hợp với điều kiện m 0 ; m 2 ta thấy các giá trị m bên trên đều thỏa mãn 2x 3y Vậy với m 7; 3; 1;3 thì giá trị của biểu thức x y nhận quý giá nguyên. 2mx 3y 5 bài bác 22 mang lại hệ phơng trình : x 3my 4 a) chứng tỏ rằng hệ luôn có nghiệm nhất b) tra cứu hệ thức contact giữa x, y không nhờ vào vào m Giải: a) Xét nhì trờng phù hợp 16Trờng hòa hợp 1: m = 0 => Hệ phơng trình gồm nghiệm độc nhất vô nhị là 5 (x ; y) = (- 4 ; 3 ) Trờng phù hợp 2: m 0, hệ phơng trình tất cả nghiệm tốt nhất a b a " b" tuyệt ab" a " b - Để hệ có nghiệm tốt nhất ta xét hiệu: 2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + 3 > 0 với tất cả m - Vậy 6m2 + 3 0 với tất cả m. Xuất xắc hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m 5 3y b) Rút m từ bỏ (1) ta đợc m = 2x chũm vào (2) ta có: 5 3y -x + 3. 2x = 4 2x2 + 8x -15y + 9y2 = 0. Đây đó là hệ thức tương tác giữa x, y không nhờ vào vào m. 3mx y 3m2 2m 1 2 bài bác 23 cho hệ phơng trình : x my 2m kiếm tìm hệ thức contact giữa x, y không phụ thuộc vào vào m. Hớng dẫn : 3mx y 3m2 2m 1 6mx 2y 6m2 4m 2 2 2 x my 2m 3x 3my 6m 6mx 3x 2y 3my 4m 2 6mx 3my 4m 3x 2y 2 2 2 x my 2m x my 2m 3x 2y 2 m Rút m tự (1) ta đợc: 6x 3y 4 . Cầm cố vào (2) ta có: 3x 2y 2 3x 2y 2 x .y 2.( )2 6x 3y 4 6x 3y 4 . Đây chính là hệ thức contact giữa x, y không phụ thuộc vào m. Mx y 2m bài 24 mang lại hệ phương trỡnh ẩn x, y sau: x my m 1 a. Xỏc định giỏ trị của m nhằm hệ cú nghiệm độc nhất b. Trả sử (x ; y) là nghiệm độc nhất vô nhị của hệ. Tỡm hệ thức liờn hệ thân x, y chủ quyền với m. C. Tỡm m Z để x, y Z d. Minh chứng (x ; y) luụn ở trờn một con đường thẳng cố định và thắt chặt (với (x ; y) là nghiệm của hệ phương trỡnh) phía dẫn: m x y 2 m ( 1 ) x m y m 1 ( 2 ) 2 2 ( m 1 ) x 2 m m 1 ( 3 ) cùng với m ± 1 thỡ hệ phương trỡnh cú nghiệm tốt nhất b/ Rỳt m từ phương trỡnh đầu tiên và nỗ lực vào phương trỡnh máy hai ta được hệ thức y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), đú là hệ thức độc lập với m 172m 1 1 m 1 1 x 2 (4) y 1 (5) z c/ m 1 m 1 m 1 m 1 .Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Làm Đồ Vật Bằng Giấy ? Hướng Dẫn Cách Gấp Tất Cả Các Con Vật Origami
Vỡ vạc x, y Z m 1 m = 0 (x = 1; y = 0) m = - 2 (x = 3; y = 2) d/ trường đoản cú (4) và (5) suy ra x – y = 1 y = x – 1 Vậy (x ; y) luụn ở trờn một con đường thẳng cố định và thắt chặt y = x – 1 x y a ax 2y 6 (I) cùng (II) bài xích 25 : cho hai hệ phơng trình x y 4 x y 1 a) với a = 2, minh chứng hai hệ phơng trình tơng đơng b) cùng với a = 5, chứng minh hai hệ phơng trình ko tơng đơng Hớng dẫn: a) cầm a = 2 vào nhị hệ ta nhận đợc tập nghiệm của bọn chúng : S = S’ = => nhị hệ phơng trình tơng đơng b) cố a = 5 vào hệ (I) => S = 4 ; 1 ráng a = 5 vào hệ (II), hệ tất cả nghiệm tuyệt nhất => S’ = 3 3 Vậy S ≠ S’ , đề xuất hai hệ phơng trình trên không tơng đơng bài xích 26: Tìm giá trị của m, n để hai hệ phơng trình sau tơng đơng x 2y 1 mx ny 6 (I) với (II) 4x 5y 17 3mx 2ny 10 Hớng dẫn: Trớc hết giải hệ (I) đợc hiệu quả nghiệm độc nhất vô nhị (x = 3 ; y = 1) nhị hệ phơng trình trên tơng đơng lúc hệ (II) cũng có nghiệm độc nhất (x = 3 ; y = 1). Để tìm m, n ta chũm x = 3 ; y = 1 vào hệ (II) 2 ,n 8 hiệu quả m = 3 18